vector Hapësirë Metodat

Ne të gjithë e mësuar në shkollë se distanca më e shkurtër nga një pikë në një linjë është dhënë nga perpendikulare formën e pikë në linjë. Ky rezultat mjaft intuitiv të jetë lehtësisht i përgjithësuar për problemin e gjetjes së distanca më e shkurtër nga një pikë në një avion. Ne zbuluar se çelësi koncepti në këtë është se vëzhgimet e orthogonality; një koncept që nuk është në dispozicion në përgjithësi normed në hapësirë, por është në dispozicion në Hilbert space. Një Hilbert hapësirë është thjesht një formë speciale normed të ketë një hapësirë të brendshme e produktit i cili është përcaktuar analoge me e dot produkt i dy vectors në gjeometri analitike. Dy vectors janë definuar si orthogonal atëherë nëse e tyre të brendshëm produkti është zero. Hilbert spaces, të pajisur me prodhimet e tyre të brendshëm, posedon një pasuri të strukturore pronat generalizing shumë nga njohuritë tona gjeometrik për dy dhe tre dimensionet. Përkatëse, strukturore këto prona të nënkuptonte një pasuri e rezultateve analitike të zbatueshme për problemet formuluar në Hilbert space. Konceptet e bazave orthonormal, Fourier seri, dhe leastsquares minimizimin e natyrshme të ketë të gjitha cilësimet në Hilbert spaces. Si Dr Christopeit merr më herë në shënimet e tij një hapësirë në themel të Hilbert, ky lloj i hapësirë duhet të definohen dhe këtu më së paku-sheshet minimizimin e dytë do të përfundojë këtë shtojcë. Para se ne të fillojë të punojë me distancat dhe se nga normat vector spaces, ne kemi parë prezantoj norma. Vektor i hapësirave të interesit të veçantë në të dy analiza abstrakte dhe kërkesat e kanë një strukturë të mirë se sa më shumë që të kuptohej nga axioms kryesor. The vector space axioms vetëm përshkruajnë algjebrik pronat e elementeve të hapësirën: Gjithashtu, scalar shumëzimit dhe kombinime të këtyre. Cilat janë të humbur janë topological koncepteve të tilla si hapja, mbyllja, konvergjencės dhe tërësisë. Këto koncepte mund të sigurohet nga futja e një masë e në një distancë hapësirën (Mendoni për një moment të Definicioni i konvergjencës. Kjo do të bëjë asnjë kuptim nëse ne nuk do të jetë në gjendje për të matur distanca në mes të elementeve në një hapësirë, si konvergjencës është në rënie të distanca mes elementeve të një rend dhe vlera limit e saj. Për të matur distancën ne kemi nevojë një distancë masë!).
Përkufizimi 1 A normed linear është një hapësirë vector vector X hapësirë në të cilën nuk ka të përcaktuar një vlerë reale-hartat funksion që çdo element x 2 X në një numri real x quajtur normën e x. Norma e kënaq axioms e mëposhtme: 1. x ? 0 për të gjitha x 2 X. x = 0, nëse dhe vetëm nëse x = 0. 2. x + y ? x + y për çdo x, y 2 X. (trekëndësh pabarazisë) 3. ? x = ? x scalars për të gjithë? dhe çdo x 2 X. I qartë është një normë e zakonshme abstraksion koncepti i gjatësisë. Çdo pikë në një normed hapësirë ka një distancë të pavlefshëm vector 0. Kjo gjatësi është matur nga norma. Për më shumë, e në distancë mund të jetë zero vetëm atëherë nëse dhe vetëm nëse në vektor është normë vektor i pavlefshëm, pasi ai e ka për vete distancë zero. Trekëndësh i pabarazisë thekson se mënyra e drejtpërdrejta midis dy pikat në hapësirë është gjithmonë e më e shkurtër; këtë mund të shihet në një trekëndësh, ku dy palët gjithmonë janë së bashku si më të mëdha të mbetura palë. I treti është gjithashtu e qartë intuitively; nëse ne shumëfishohen një nga një vektor i cili scalar do të thotë kemi vënë?-herë të vektor x përpara veten, pastaj gjatësia duhet të jetë gjithashtu?-herë gjatësinë e vektor (ku është marrë në scalar absolute për të siguruar një vlerë pozitive vlerë, si ne nuk mund ta imagjinoni një gjatësi negativ). Tani, siç u përmend më parë, në leksion ndonjëherë ka punuar me një Hilbert space. Hilbert spaces janë definuar në mënyrë tipike nga socalled para-Hilbert spaces. Përkufizimi 2 Një para-Hilbert hapësirë është një hapësirë lineare vector X së bashku me një produkt të brendshëm të definuar X × X. korresponduese për çdo palë vectors x, y në X të brendshëm produkt e x dhe y është një scalar. Produkti i brendshëm kënaq axioms e mëposhtme: 1. = . 2. = + . 3. =? . 4. ? Dhe 0 = 0, nëse dhe vetëm nëse x = 0. Axioms 2 dhe 3 të garantojë se produkti i brendshëm është lineare në hyrjen e parë dhe si axiom 1 siguron commutability e dy elementë, linearity është siguroi gjithashtu në dytë të hyrjes. Ky produkt i brendshëm është shumë i ngjashëm me tonë të njohur nga scalar produktit Euclidean gjeometrisë; në fakt Euclidean scalar produktit është një formë e posaçme e përgjithshme koncepti i produktit të brendshëm. Sasia p është denoted x , sonë të parë dhe objektivi është që të vërtetojë se është e një normë të vërtetë në kuptimin e Përkufizimi 1. Axioms 1 dhe 3 të japin së bashku ? X ?· = x axiom dhe jep 4 x > 0, x 6 = 0. Ne do të tregojnë më shpejt që të jetë, se (·) satifies gjithashtu e trekëndëshit pabarazisë dhe, që këtej, përcakton një normë më e para-Hilbert space.
Para se të provohet të trekëndëshit pabarazisë, është parë e nevojshme për të provuar një parathënie e shkurtër i cili është thelbësor në tërë këtij seksioni, si dhe për prova se satifies e trekëndësh pabarazisë. Parathënie e shkurtër 3 (e Cauchy-Schwartz Pabarazia) Për të gjitha x, y në një të brendshëm produkt hapësirë, ? kxk kyk. Barazia mban nëse dhe vetëm nëse x =? Y ose y = 0. Dëshmi 7 Në rast se y = 0 e pabarazisë mban trivially; ose më të mirë të barazisë mban trivially. Për këtë arsye, ne supozojmë 6 y = 0. Tani, ne përdorim një trick matematikore, e cila shpesh është aplikuar në argumente. Për të gjitha scalars?, Ne kemi 0? (Z) nga definimi i produktit të brendshëm = -? = -? -? + ? 2 = -2? + ? 2 . Ky mashtrim është tani për të vendosur? në mënyrë të tillë, që ne të merrni Cauchy-Pabarazia Schwartz. Ne mund të gjeni, se me? = ne mund të organizoni të pabarazisë 0? -2 +???? ???? 2 ? -2 2 + 2 ? -2 2 Disa fjalë për marrëveshje. = 2 2, që nga produkti i brendshëm është për të përcaktuar të jetë një e vërtetë të dy dhe numri absolut vlerë, si dhe një shesh të vërtetë numër është pozitive, dhe = mban, si produkt i brendshëm i një vektor me vete u përcaktuar të jetë pozitiv (zero u përjashtua në hapin e dytë e prova). Tani, kjo mund të pabarazisë shkruar qartë si ? p = kxkkyk. ? Pohim i mëposhtëm është thelbësor në këtë kontekst. 1 Në një propozim para-Hilbert space X funksionin kxk = p është një normë.
Dëshmi 8 risjell nga përcaktimi i një norme (Përkufizimi 1) se e vetmja kërkesë për një normë e cila nuk e ka ngritur tashmë është trekëndësh pabarazisë. Për këtë dëshmi ne do të përdorimin e Cauchy-Schartz Pabarazia. Për çdo x, y 2 X, ne kemi kx + yk = = + + + ? kxk2 + 2 + kyk2, ku e fundit mban pabarazisë, pasi që produkt i brendshëm mund të jetë pozitiv ose negative, dhe absolut vlera e këtij produkti është gjithmonë pozitiv. Nga e Cauchy-Schwartz pabarazisë, kjo becomes6 kx + yk2? kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk) 2. Tani, shesh rrënjët e mësipërme pabarazisë është rezultatin e dëshiruar. ? Ne duhet t'i japim një shembull këtu për të bërë të qartë se çdo përdoren norma e një para-Hilbert hapësirë është një lloj të caktuar të rrjedhin nga norma e paraqitur konceptin e përgjithshme këtu. Le të marrë në konsideratë të njohur Euclidean normë. Shembulli 1 Hapësira e përbërë nga En-n e tuples numrat reale është një para - Hilbert hapësirë me produktin e brendshëm vektor x = (x1, x2,..., Xn) dhe e vector y = (y1, y2,..., yn) definuar si = PN i = 1 xiyi. Në këtë rast është e qartë se = dhe se linear është në të hyra të dy (i Reader duhet të shikojnë përsëri në Përkufizimi 2.). Norma e përcaktuar si p është XI kxk = n = 1 xi 2! 1 / 2 , që është norma për Euclidean En. Në parathënie e shkurtër 1 kemi bërë një deklaratë në lidhje me atë që ne do të thotë nëse nga orthogonal dhe në konkluzion 1 ne orthogonality tregoi se është e barabartë me një produkt i matricës zero. Këtu define e orthogonality ta në lidhje me produktin e brendshëm dhe të formojnë një relationshp interesante mes norma e dy vectors dhe orthogonality mes këtyre dy vectors. Përkufizimi 3 Në një para-Hilbert hapësirë dy vectors x, y janë thënë të jetë orthogonal nëse = 0. Ne gjithmonë e përdori orthogonality absolutisht të natyrshme, në matematikë, por kjo është një shumë të abstrakte vendosjes, e cila është përcaktuar nga Përkufizimi 3 dhe vetëm në euclidean hapësirë orthogonality është e barabartë me një kënd prej 90?.
Koncepti i orthogonality ka shumë nga pasojat e para-Hilbert në hapësirat që ajo ka në gjeometri plane. Për shembull të Pythagorean teoremë është e vërtetë në para-Hilbert hapësira. Parathënie e shkurtër 4 (Pythagorean teoremë) Nëse x? y, pastaj yk2 = kx + kxk2 + kyk2. Kjo e bën parathënie e shkurtër të bëjë intuitevly ndjenjë kur të menduarit e Euclidean hapësirë, sikur dy vectors janë orthogonal të njëri-tjetrit, ne kemi një trekëndësh me një kënd 90circ dhe në të tilla një trekëndësh të Pythagorean qartazi teoremë mban. Megjithatë, në hapësira të tjera që nuk mund të mendojnë në mënyrë të tillë dhe ne duhet të përdorin vetëm abstrakte përkufizimin e tregoi më sipër. Por, le provë këtë parathënie e shkurtër. Dëshmi 9 kx + yk2 = = + + + = Kxk2 + + + kyk2 = Kxk2 + kyk2. Tani, që nga një para-Hilbert hapësirë është një lloj të veçantë normed lineare vector hapësirë, të koncepteve e konvergjencës, mbylljen, tërësisë, etj, të zbatohen në këto spaces.7 Përkufizimi 4 Një kompletuar para-Hilbert space quhet Hilbert space. Tërësisë në këtë kontekst do të thotë, që çdo Cauchy-rend në një subspace converges në një kufi në këtë subspace dhe mban për çdo subspace në lineare vector space.