Normal e Equations dhe matricat gram

Në këtë paragraf ne hetuar pas Afrimi problem. Supozoni y1, y2,. . . , Yn janë elemente të një hapësirë Hilbert H. Këto të gjenerojë një vectors (mbyllur) fundor-dimensional subspaceMof H. Duke pasur një arbitrare vektor x 2 H, ne kërkojmë të vector Ë † x 2 milion që është më së afërmi të x. Nëse Ë † x është shprehur në terma e si vectors yi Ë † x = 1y1 + + 2y2 Â Â Â + nyn, problemi është ekuivalente me atë të gjetur n scalars i, i = 1, 2,. . . , N, se minimizuar kx â '1y1 â' 2y2 â 'Â Â Â â' ynk. Kjo shumë e tingujve të gjitha të njohura për ne, duke iu referuar të parë të këtij kapitulli shtënie shënime. Nuk janë të vectors yi e cila përfshin të subspace M ndërtuar dhe të cilat në një lineare vector një kombinim i cili është një projeksion i një arbitrare vektor x 2 H. Në fakt, i tërë projeksion koncept është prezantuar më parë këtu vetëm shtoi nga koncepti i optimization. Ai nuk është vetëm një projeksion mbi një subspace me një korrespondues orthogonal vector, por së bashku me një normë të përcaktuar në hapësirë është gjithashtu në zgjidhjen në një distancë minimale problem; dhe kjo është e re. Tani, sipas projeksionit teoremë, unike minimizuar vektor x është orthogonal projeksion të x mbi M, ose equivalently diferencën vektor x - x orthogonal është çdo e vectors yi. Prandaj, = 0 për i = 1, 2,. . . , N. Ose equivalently, ? 1 + ? 2 + + ? N = ? 1 + ? 2 + + ? N = ... ... ? 1 + ? 2 + + ? N = . A e shikoni këtë të njohura për një econometrician? Natyrisht; equations këto janë të wellknown normale equations për minimizimin e problemit. Korrespondues për këtë ekuacion sistemit të kemi një dimension të matricës n × n G (y1, y2,..., Yn) = 0BBB @ ... ... 1CCCA (18) që quhet gram matricën e y1, y2,. . . , Yn. Është e zhvendos koeficienti i matricës e normale equations. Por si mund të vërtetohet lehtë (nëpër commutativity e Produkti i brendshëm) kjo matricë është simetrik dhe në mënyrë të barabartë koeficientin e matricës. Afrimi është problemi zgjidhet një herë e normale equations janë zgjidhur. Në mënyrë që se ky grup i zgjidhshëm equations të jetë unike, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që gram matricė nonzero posedon një përcaktor. Megjithëse equations normale nuk posedojnë një zgjidhje unike yi e në qoftë se janë linearly varur, ka gjithmonë të paktën një zgjidhje. Kështu, degjenerim që shfaqet si një rezultat i detG (y1, y2,..., yn) = 0 gjithmonë rezulton në një shumëllojshmëri e zgjidhjeve se sa jokonsekuent një sërë equations. Nuk ka ende një tjetër rrugë për të përcaktuar një afrimit dhe kjo është paraqitur në mënyrë të ardhshëm paragrafi. Ajo është përdorur ndonjëherë në letërsi dhe posedon një tjetër vetëm si simbol paraqitur tashmë mënyrë.